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Anpassungsoptionen für Ternäre Grafiken

Die folgenden vier Regressions-Funktionen können in einer kategorisierten oder benutzerdefinierten ternären Grafik an die Daten angepasst werden. Diese Funktionen wurden aus den Gleichungen für die entsprechenden Polynomfunktionen abgeleitet, unter der Nebenbedingung, dass die Summe der Werte der Komponenten  (X, Y, Z)-Variablen für jeden Fall gleich einer Konstante (z. B. 1) sind. Das einfache Modell ersten Grades lautet beispielsweise folgendermaßen:

V = a + b1*X + b2*Y + b3*Z

mit der Nebenbedingung X+Y+Z=1 und kann durch Multiplikation von a mit 1=X+Y+Z umgeformt werden in:

V = a*X + a*Y + a*Z + b1*X + b2*Y + b3*Z

Dieser Ausdruck kann vereinfacht werden zu:

V = (a+b1)*X + (a+b2)*Y + (a+b3)*Z

oder: V = b1' *X + b2' *Y + b3' *Z

Hier werden die verfügbaren Regressionsfunktionen "kanonischer" polynomialer Form aufgelistet (in diesen Gleichungen werden die Parameter einfach als b1, b2 usw., und nicht als b1', b2' usw. bezeichnet):

Lineare Glättung (polynomial ersten Grades): V = b1*X + b2*Y + b3*Z

Quadratische Glättung (polynomial zweiten Grades): V = b1*X + b2*Y + b3*Z+ b12*X*Y + b13*X*Z + b23*Y*Z

Voll kubische Glättung: V = b1*X + b2*Y + b3*Z + b12*X*Y + b13*X*Z + b23*Y*Z + b12*X*Y*(X-Y) + b13*X*Z*(X-Z) + b23*Y*Z*(Y-Z) + b123*X*Y*Z

Speziell kubische Glättung: V = b1*X + b2*Y + b3*Z + b12*X*Y + b13*X*Z + b23*Y*Z + b123*X*Y*Z

Für weitere Informationen zu der ternären Darstellung von Daten siehe Ternäre Grafiken.